Как изменится объем куба если его длину увеличить в 2 раза

Как изменится объем куба если его длину увеличить в 2 раза


/ Методические рекомендации

параллелепипеда и вся соответствующая терминология, понятия куба, развёртки прямоугольного параллелепипеда. Изучаемый материал позволяет дать возможность учащимся поработать с бумагой, вырезая развёртку прямоугольного параллелепипеда (задание 499). Здесь имеются задачи развивающего характера, связанные с необходимостью представления пространственного объекта — куба, чисел, изображённых на его гранях (задания 501–503). В задании 504 требуется определить, какая из предложенных фигур является развёрткой куба.

РТ. К изучаемой теме относятся задания 214–215.

Решения и комментарии

501. На гранях куба (рис. 26) написали числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, что сумма чисел на двух противоположных гранях равна семи. Рядом с кубиком изображены его развёртки, на которых указано одно из этих чисел. Укажите остальные числа.

Решение. Для решения задачи учащимся надо представить, что они мысленно складываю развёртку, чтобы получить куб. Тогда на каждой развёртке сначала определяется положение чисел 1, 2 и 3 (на рисунке 27 они изображены с учётом их взаимного расположения на гранях куба, но это не обязательное требование). Затем определяется положение чисел 4, 5 и 6. Для проверки своего решения учащиеся могут сделать развёртку куба.

507. На рисунке 28 изображён куб, сложенный из восьми одинаковых кубиков с ребром 1 см. Сколько прямоугольных параллелепипедов на этом рисунке?

Решение. На рисунке 28 изображено 8 маленьких кубиков (не все они, конечно, видны). Есть 12 прямоугольных параллелепипедов, составленных из двух маленьких кубиков, 6 прямоугольных параллелепипедов, составленных из четырёх маленьких кубиков, и 1 большой куб, составленный из восьми маленьких кубиков. Всего 8 + 12 + 6 + + 1 = 27 прямоугольных параллелепипедов.

508. Окрашенный куб распилили на 27 одинаковых кубиков с ребром 1 см (рис. 29). У скольких маленьких кубиков окрашена только одна грань; только две грани; три грани?

Решение. Окрашена только одна грань у 6 маленьких кубиков (в центре каждой грани большого куба); окрашено только две грани у 12 кубиков (в середине каждого ребра большого куба); окрашено три грани у 8 кубиков (в каждой вершине большого куба). (И нет кубиков, у которых окрашено более трёх граней.)

2.11. Объём прямоугольного параллелепипеда. Единицы объёма

В данном пункте учебника вводится понятие единичного куба, поясняется, что значит измерить объём прямоугольного параллелепипеда при помощи единичных кубов, обосновывается на конкретном примере формула для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда: если измерения прямоугольного параллелепипеда выражаются натуральными числами а. b и c. то объем прямоугольного параллелепипеда равен V = a b с .

Далее объясняются соотношения между кубическими единицами. Усвоению этих соотношений будет способствовать работа с таблицей в задании

РТ. В начале изучения темы можно использовать задания 211–213.

Решения и комментарии

515. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длина которого 45 см, ширина 30 см, а высота 25 см. Сколько раз придётся наполнить водой трёхлитровую банку, чтобы уровень воды в аквариуме был равен 20 см?

Решение. Надо налить 45 ∙ 30 ∙ 20 = 27 000 см 3 воды. Это 27 дм 3. или 27 л.

Трёхлитровую банку придётся наполнить водой 27. 3 = 9 раз.

516. Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда, если: а) его длину увеличить в 2 раза; б) увеличить его длину в 2 раза, а ширину — в 3 раза?

Решение. Пусть a см — длина, b см — ширина, c см — высота прямоугольного параллелепипеда, тогда его объём равен abc см 3 .

а) Если длину прямоугольного параллелепипеда увеличить в 2 раза, то его объём будет равен 2 a ∙ b ∙ c см 3 = 2 ∙ abc см 3 — он в 2 раза больше объёма данного прямоугольного параллелепипеда.

б) Если длину увеличить в 2 раза, а ширину — в 3 раза, то объём нового прямоугольного параллелепипеда будет равен 2 a · 3 b · c см 3 = 6 ∙ abc см 3 — он в 6 раз больше объёма данного прямоугольного параллелепипеда.

Ответ.

а) Увеличится в 2 раза; б) увеличится в 6 раз.

2.12. Единицы массы

2.13. Единицы времени

В пункте 2.12 вводятся единицы измерения массы: грамм, килограмм, центнер, тонна — и соотношения между ними. В пункте 2.13 вводятся единицы времени: сутки, час, минута, секунда — и соотношения между ними. Знание этих единиц необходимо не только в обиходе, но и для решения задач на движение, а в дальнейшем для осмысленного перевода одних единиц измерения скорости в другие, а также при изучении физики.

Решения и комментарии

б) 9 кг 326 г ≈ 10 кг с избытком; в) 9 кг 326 г ≈ 9 кг с округлением;

3) а) 4 ц 36 кг 125 г ≈ 436 кг с недостатком; б) 4 ц 36 кг 125 г ≈ 437 кг с избытком; в) 4 ц 36 кг 125 г ≈ 436 кг с округлением;

4) а) 5 т 7 ц ≈ 5700 кг с недостатком;

б) 5 т 7 ц ≈ 5700 кг с избытком; в) 5 т 7 ц ≈ 5700 кг с округлением.

535. Увеличьте: а) 3 ч 15 мин в 3 раза; б) 1 ч 20 мин в 4 раза.

а) 3 ч 15 мин ∙ 3 = 9 ч 45 мин; б) 1 ч 20 мин ∙ 4 = 4 ч 80 мин = 5 ч 20 мин.

2.14. Задачи на движение

В данном пункте учебника рассмотрены задачи на равномерное движение, движение по реке и движение двух участников навстречу друг другу или в одном направлении. Здесь вводятся понятия скоростей: собственной, течения, по течению, против течения, сближения и удаления. Такого рода задачи будут встречаться и далее, поэтому способы их решения желательно усвоить уже сейчас.

РТ. В начале изучения задач каждого типа полезно рассмотреть задания 216–225. К части из них приведены иллюстрации, в которых скорости изображены отрезками. При этом важно обратить внимание на оба способа решения задач 218. 220. 222 и 224. Задания 226–229 предназначены сильным учащимся, ими можно завершить изучение темы, рассмотрев их решения после выполнения заданий 561 и 564 учебника.

Решения и комментарии

545. Определите, какая скорость получится следующим действием:

546. а) По течению моторная лодка проплыла 48 км за 3 ч, а против течения

— за 4 ч. Найдите скорость течения.

1) 48. 3 = 16 (км/ч) — скорость лодки по течению реки;

2) 48. 4 = 12 (км/ч) — скорость лодки против течения реки;

3) 16 – 12 = 4 (км/ч) — удвоенная скорость течения;

4) 4. 2 = 2 (км/ч) — скорость течения.

548. 15 июля 1923 года из Москвы в Нижний Новгород вылетел аэроплан «Ультиматум». Так была открыта первая трасса Аэрофлота длиной 420 км. Аэроплан шёл на высоте 250 м и преодолел всё расстояние за 3 ч 30 мин. Найдите скорость аэроплана. Какие условия в задаче являются лишними?

Решение. Предварительно выразим время в минутах: 3 ч 30 мин = 210 мин. Тогда 420. 210 = 2 (км/мин) — скорость аэроплана. Запишем её в других единицах: 2 ∙ 60 = 120 (км/ч).

Лишние условия в задаче (от которых не зависит ответ) — высота и дата полёта.

552. а) Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 ч до встречи? Есть ли в задаче лишнее условие?

б) Расстояние от села до города 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу?

Решение. Это задачи-шутки. Иногда, прочитав условие задачи, учащиеся сразу начинают вычислять. Эти задачи показывают, что довольно часто бывает

полезно сначала поразмышлять над условиями задачи. а) 1) 60 + 80 = 140 (км/мин) — скорость сближения;

2) 140 ∙ 1 = 140 (км) — расстояние, на котором были поезда друг от друга за 1 ч до встречи.

Лишнее условие в задаче — 900 км.

б) В момент встречи они будут на одинаковом расстоянии от села.

556. Старинная задача. Из Москвы в Тверь вышли одновременно 2 поезда. Первый проходил в час 39 вёрст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 вёрст. Сколько вёрст от Москвы до Твери?

Решение. 1) 39 – 26 = 13 (вёрст) — на столько отставал второй поезд от первого за каждый час;

2) 26 2 = 52 (версты) — на столько отстал второй поезд за всё время движения;

3) 52.

13 = 4 (ч) — время движения первого поезда;

4) 39 4 = 156 (вёрст) — от Москвы до Твери.

560. Пассажир метро, стоящий на ступеньке эскалатора, поднимается вверх за 3 мин. Если он ид ёт вверх, то поднимается за 2 мин. С какой скоростью идёт пассажир метро, если длина эскалатора 150 м?

Решение. 1) 150. 3 = 50 (м/мин) — скорость эскалатора;

2) 150. 2 = 75 (м/мин) — скорость пассажира, идущего по движущемуся вверх эскалатору;

3) 75 – 50 = 25 (м/мин) — скорость пассажира, идущего по стоящему эскалатору.

561. Папа и сын плывут на лодке против течения. В какой-то момент сын уронил за борт папину шляпу. Только через 15 мин папа заметил пропажу. Как далеко друг от друга в этот момент находились лодка и шляпа, если собственная скорость лодки 8 км/ч, а скорость течения 3 км/ч? Нет ли в задаче лишних данных?

Решение. Для ответа на вопрос «Как далеко… ?» выражать 8 км/ч в метрах

в секунду не следует, так как 8000 «плохо делится» на 60. Можно рассуждать так. За 60 мин они удалились бы на 8 км, а за время в 4 раза меньшее (60. 15 = 4), — на расстояние, в 4 раза меньшее, — на 8. 4 = 2 (км). Лишнее условие — скорость течения.

Дополнительное задание. Папа и сын плывут на лодке против течения. В какой-то момент сын уронил за борт папину шляпу. Только через 15 мин папа заметил пропажу. Через сколько минут они догонят шляпу, если сразу повернут лодку и поплывут по течению? (Собственная скорость лодки постоянна.)

Решение. Так как скорость удаления лодки и шляпы равна

( v с. – v т. ) + v т. = v с.

а скорость сближения лодки и шляпы равна

( v с. + v т. ) – v т. = v с.

то удаление и сближение лодки и шляпы происходило на одно и то же расстояние и с одной и той же скоростью. Поэтому они догонят шляпу за то же время, за которое они удалялись от неё, т. е. за 15 мин.

562. Два поезда движутся навстречу друг другу по параллельным путям — один со скоростью 100 км/ч, другой со скоростью 80 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шёл мимо него 12 с. Какова длина первого поезда?

Решение. Поезда сближались со скоростью 100 + 80 = 180 (км/ч), или 180 000. 60 = 3000 (м/мин). Это означает, что за 1 мин (60 с) мимо пассажира мог бы пройти поезд длиной 3000 м. Так как 12 с в 5 раз меньше, чем 60 с, то длина поезда равна 3000. 5 = 600 (м).

563. Железнодорожный состав длиной 1 км проходит мимо километрового

столба за 1 мин, а через туннель при той же скорости за

Его можно упростить, заметив, что в задаче речь идёт, по сути дела, о движении навстречу друг другу с удвоенным расстоянием (рис. 30).

Тот же ответ получится, если переформулировать условие задачи так: Расстояние между пунктами А и В равно 60 км. Из пункта А в пункт В

вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Через сколько часов после начала движения они встретятся?

Это редкий пример удачной переформулировки задачи, приводящей к упро-

щению её решения:

1) 30 ∙ 2 = 60 (км); 2) 10 + 5 = 15 (км/ч);

Промежуточный контроль. ДМ. С–10, С–11.

Дополнения к главе 2 1. Многоугольники

Материал данного пункта может рассматриваться после изучения главы 2, а может включаться в изучаемые пункты этой главы.

В данном пункте вводятся понятия ломаной линии, многоугольника, равенства многоугольников, выпуклого многоугольника со всей необходимой терминологией.

В задании 577 написано: «Считают, что если многоугольники равны, то их площади равны; если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей составляющих его многоугольников». Это пока единственная основа для рассуждений о площадях многоугольников и их вычислений. А устанавливать равенство фигур можно наложением фигур — сначала реальным: вырезать прямоугольник из бумаги, разрезать его по диагонали

и объяснить, почему два полученных треугольника совпадают (прямые углы совпадут, так как они равны друг другу; стороны треугольников совпадут, так как они являются противоположными сторонами прямоугольника, которые равны), а потом воображаемым наложением фигур.

Замечание. Обратите внимание: надо не убедиться, что два треугольника совпадут (то ли совпадут, то ли нет, а при воображаемом наложении фигур вообще ни в чём убедиться нельзя), а объяснить, почему два полученных треугольника совпадают.

РТ. При изучения материала данного пункта можно использовать задания 193–194. 197–204. Они нацелены на отработку понятия «равенство многоугольников» и развитие творческих способностей и пространственного воображения.

Решения и комментарии

576. Периметры треугольников ВСD. ВDЕ и АВЕ равны соответственно 20 см, 21 см и 22 см, а периметр пятиугольника АВСDЕ равен 31 см (рис. 31). Определите длины диагоналей ВD и ВЕ, если известно, что они равны.



как изменится объем куба если его длину увеличить в 2 раза:/ Методические рекомендации параллелепипеда и вся соответствующая терминология, понятия куба, развёртки прямоугольного параллелепипеда. Изучаемый материал позволяет дать возможность учащимся

как изменится объем куба если его длину увеличить в 2 раза

Как изменится объем куба если его длину увеличить в 2 раза 4 9 10